2010年考研数学二真题答案解析如下：
一、选择题解析
1. A选项：由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=f(1)-f(0)。计算可得f'(ξ)=2ξ+1，代入ξ=0.5，得f'(0.5)=2*0.5+1=2，故选A。
2. D选项：由题意知，函数f(x)在区间[0,2]上连续，在(0,2)内可导。根据柯西中值定理，存在ξ∈(0,2)，使得f(2)-f(0)/2-0=f'(ξ)。计算可得f'(ξ)=1/ξ，代入ξ=1，得f'(1)=1，故选D。
3. C选项：由题意知，函数f(x)在区间[-1,1]上连续，在(-1,1)内可导。根据罗尔定理，存在ξ∈(-1,1)，使得f'(ξ)=0。计算可得f'(x)=2x，代入ξ=0，得f'(0)=0，故选C。
4. B选项：由题意知，函数f(x)在区间[0,π]上连续，在(0,π)内可导。根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0,π)，使得f(π)-f(0)/π-0=f'(ξ)。计算可得f'(x)=2sinx，代入ξ=π/2，得f'(π/2)=2，故选B。
5. A选项：由题意知，函数f(x)在区间[-1,1]上连续，在(-1,1)内可导。根据罗尔定理，存在ξ∈(-1,1)，使得f'(ξ)=0。计算可得f'(x)=2x，代入ξ=0，得f'(0)=0，故选A。
二、填空题解析
1. 解：根据题意，令x=1，得y=0。由泰勒公式，有f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+f''(1)(x-1)^2/2!+...+f^{(n)}(1)(x-1)^n/n!。代入x=1，得f(x)=0+f'(1)(x-1)+f''(1)(x-1)^2/2!+...+f^{(n)}(1)(x-1)^n/n!。由题意知，f'(1)=0，f''(1)=0，...，f^{(n)}(1)=0，故f(x)=0。
2. 解：由题意知，f(x)在区间[-1,1]上连续，在(-1,1)内可导。根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(-1,1)，使得f(1)-f(-1)/1-(-1)=f'(ξ)。计算可得f'(ξ)=0，故f'(x)=0。
三、解答题解析
1. 解：由题意知，f(x)在区间[-1,1]上连续，在(-1,1)内可导。根据罗尔定理，存在ξ∈(-1,1)，使得f'(ξ)=0。计算可得f'(x)=2x，代入ξ=0，得f'(0)=0。
2. 解：由题意知，f(x)在区间[0,2]上连续，在(0,2)内可导。根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0,2)，使得f(2)-f(0)/2-0=f'(ξ)。计算可得f'(x)=2ξ+1，代入ξ=1，得f'(1)=3。
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