备战考研，数学真题是检验学习成果的关键。以下是对几道典型考研数学真题的答案详解：
1. 线性代数：给定矩阵 \(A\)，求其特征值和特征向量。
- 解答：首先计算矩阵 \(A\) 的特征多项式，解得特征值。然后，针对每个特征值，求解相应的特征向量。最终得到所有特征值和对应的特征向量。
2. 概率论与数理统计：已知随机变量 \(X\) 的概率密度函数，求 \(X\) 的期望和方差。
- 解答：根据概率密度函数，通过积分计算期望 \(E(X)\) 和方差 \(D(X)\)。期望计算公式为 \(\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx\)，方差计算公式为 \(\int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) dx\)。
3. 高等数学：求解微分方程 \(y'' + 4y = \sin 2x\) 的通解。
- 解答：首先求出齐次方程 \(y'' + 4y = 0\) 的通解，得到 \(y_h = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x\)。然后求非齐次方程的一个特解，可以设 \(y_p = A \cos 2x + B \sin 2x\)，代入原方程解得 \(A\) 和 \(B\)。最终通解为 \(y = y_h + y_p\)。
4. 复变函数：计算复积分 \(\int_{C} \frac{dz}{z^2 + 1}\)，其中 \(C\) 是单位圆 \(|z| = 1\)。
- 解答：利用留数定理，首先求出 \(z^2 + 1 = 0\) 的两个根 \(z_1 = i\) 和 \(z_2 = -i\)。由于 \(z_1\) 在单位圆内，计算其留数，然后利用留数定理得到积分的值为 \(2\pi i \cdot \text{留数}\)。
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