2005年考研数学二真题解析如下：
一、选择题解析
1. 题目解析：本题考查函数极限的计算。
答案：D
解析：由洛必达法则可知，当x→0时，分子分母同时趋近于0，故可使用洛必达法则。计算过程如下：
$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x}{1} = 1$$
2. 题目解析：本题考查一元二次方程的解。
答案：C
解析：根据一元二次方程的求根公式，可得：
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
代入题目中的系数，得：
$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{4}$$
化简得：x = -1 或 x = -\frac{1}{2}。
二、填空题解析
1. 题目解析：本题考查定积分的计算。
答案：$\frac{\pi}{2}$
解析：根据定积分的定义，可得：
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = -\cos x \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \frac{\pi}{2} + \cos 0 = 1$$
2. 题目解析：本题考查级数的收敛性。
答案：收敛
解析：根据级数收敛的必要条件，若级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛，则其通项$a_n$的极限为0。由题意，可得：
$$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} = 0$$
因此，级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$收敛。
三、解答题解析
1. 题目解析：本题考查一元函数的导数和积分。
答案：
（1）$f'(x) = 2x$
（2）$f(x) = x^2 + C$
解析：由导数的定义，可得：
$$f'(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} = 2x$$
由积分的定义，可得：
$$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int 2x \, dx = x^2 + C$$
其中C为任意常数。
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