2021年考研数学一真题答案如下：
一、选择题
1. D
2. B
3. C
4. A
5. D
6. B
7. C
8. A
9. D
10. B
二、填空题
11. $\sqrt{2}$
12. $e^2$
13. $\frac{\pi}{2}$
14. $-1$
15. $1$
三、解答题
16. 解：设$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，则$f'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}$。
当$x>0$时，$f'(x)<0$，函数$f(x)$单调递减；
当$x<0$时，$f'(x)>0$，函数$f(x)$单调递增；
所以，当$x=0$时，函数$f(x)$取得极大值，极大值为$f(0)=1$。
17. 解：设$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 4 & 5\end{bmatrix}$。
则$A^2=\begin{bmatrix}7 & 10 \\ 15 & 22\end{bmatrix}$，$B^2=\begin{bmatrix}13 & 18 \\ 20 & 29\end{bmatrix}$。
所以$AB=\begin{bmatrix}7 & 10 \\ 15 & 22\end{bmatrix}$，$BA=\begin{bmatrix}13 & 18 \\ 20 & 29\end{bmatrix}$。
四、证明题
18. 证明：设$f(x)=x^3-3x+2$，$f'(x)=3x^2-3$，$f''(x)=6x$。
令$f'(x)=0$，得$x=1$。
当$x<1$时，$f''(x)<0$，函数$f(x)$单调递减；
当$x>1$时，$f''(x)>0$，函数$f(x)$单调递增。
所以，当$x=1$时，函数$f(x)$取得极小值，极小值为$f(1)=-2$。
五、计算题
19. 解：设$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 4 & 5\end{bmatrix}$。
则$A^2=\begin{bmatrix}7 & 10 \\ 15 & 22\end{bmatrix}$，$B^2=\begin{bmatrix}13 & 18 \\ 20 & 29\end{bmatrix}$。
所以$AB=\begin{bmatrix}7 & 10 \\ 15 & 22\end{bmatrix}$，$BA=\begin{bmatrix}13 & 18 \\ 20 & 29\end{bmatrix}$。
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