2021年考研数学一真题及答案如下：
一、选择题（每题5分，共25分）
1. 设函数f(x) = ln(x+1)，则f'(x) = _______。
答案：1/(x+1)
2. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，则A的逆矩阵A^(-1) = _______。
答案：[[2, -1], [-3, 1]]
3. 设数列{an}满足an = 2an-1 + 1，且a1 = 1，则数列{an}的通项公式为 _______。
答案：an = 2^n - 1
4. 设平面曲线C：x^2 + y^2 = 1，则C的面积S = _______。
答案：π
5. 设函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = _______。
答案：3x^2 - 3
二、填空题（每题5分，共25分）
6. 设向量a = [1, 2, 3]，b = [4, 5, 6]，则a·b = _______。
答案：32
7. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的零点为 _______。
答案：2
8. 设等差数列{an}满足a1 = 1，公差d = 2，则数列{an}的第10项an = _______。
答案：19
9. 设平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(4, 5)，则线段AB的中点坐标为 _______。
答案：(3, 4)
10. 设函数f(x) = e^x - x，则f(x)的极小值为 _______。
答案：1/e
三、解答题（共50分）
11. （10分）设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f(x)的单调区间。
解答：f'(x) = 3x^2 - 6x + 4
令f'(x) = 0，得x = 1 或 x = 2/3
当x < 2/3 时，f'(x) > 0，f(x)单调递增；
当2/3 < x < 1 时，f'(x) < 0，f(x)单调递减；
当x > 1 时，f'(x) > 0，f(x)单调递增。
12. （10分）设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求A的特征值和特征向量。
解答：|A - λI| = |[-λ, 2], [3, 4-λ]| = λ^2 - 2λ - 5 = (λ - 5)(λ + 1)
特征值：λ1 = 5，λ2 = -1
当λ = 5 时，A - 5I = [[-4, 2], [3, -1]]，解得特征向量v1 = [1, 2]
当λ = -1 时，A + I = [[2, 2], [3, 3]]，解得特征向量v2 = [1, 1]
13. （15分）设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f(x)在区间[0, 2]上的最大值和最小值。
解答：f'(x) = 3x^2 - 6x + 4
令f'(x) = 0，得x = 1 或 x = 2/3
当x = 1 时，f(x)取得最大值f(1) = 1
当x = 2/3 时，f(x)取得最小值f(2/3) = -1/27
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