在考研数学中，相似矩阵是一个重要的概念。以下是一道综合题的解答：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量，并判断 \( A \) 是否可相似对角化。
解答步骤：
1. 求特征值：计算特征多项式 \( \det(A - \lambda I) \)，得 \( \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 \)。
解得特征值 \( \lambda_1 = 2 \) 和 \( \lambda_2 = -1 \)。
2. 求特征向量：分别对 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \) 求解线性方程组 \( (A - \lambda I)x = 0 \)。
对于 \( \lambda_1 = 2 \)，得 \( \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)，解得特征向量 \( \alpha_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
对于 \( \lambda_2 = -1 \)，得 \( \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)，解得特征向量 \( \alpha_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
3. 判断相似对角化：由于 \( A \) 有两个不同的特征值，且对应的特征向量线性无关，因此 \( A \) 可相似对角化。
最终，矩阵 \( A \) 可相似对角化为 \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)。
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