在2021年考研数学中，微分方程题目颇受关注。一道典型的微分方程题如下：
已知微分方程 \( y'' - 2y' + y = e^t \)，其中 \( y(0) = 1, y'(0) = 2 \)。求该微分方程的通解。
解题过程如下：
首先，解对应的齐次方程 \( y'' - 2y' + y = 0 \)。其特征方程为 \( r^2 - 2r + 1 = 0 \)，解得 \( r_1 = r_2 = 1 \)。因此，齐次方程的通解为 \( y_h = (C_1 + C_2t)e^t \)。
接着，设非齐次方程的特解为 \( y_p = Ate^t \)，代入原方程得到 \( A = \frac{1}{2} \)。因此，特解为 \( y_p = \frac{1}{2}te^t \)。
综上，原微分方程的通解为 \( y = y_h + y_p = (C_1 + C_2t)e^t + \frac{1}{2}te^t \)。
最后，利用初始条件 \( y(0) = 1, y'(0) = 2 \) 求得 \( C_1 = \frac{1}{2}, C_2 = \frac{1}{2} \)。所以，原微分方程的解为 \( y = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}t\right)e^t + \frac{1}{2}te^t \)。
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