考研数学三真题及详解如下：
【真题一】（线性代数）设矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
【详解一】首先计算特征多项式 \( \det(A - \lambda I) \)，得到 \( \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 \)。解得特征值 \( \lambda_1 = 2 \)，\( \lambda_2 = 3 \)。接着分别求出对应的特征向量，得到 \( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) 和 \( \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)。
【真题二】（概率论与数理统计）设随机变量 \( X \) 服从参数为 \( \theta \) 的指数分布，求 \( P(X > 1) \)。
【详解二】根据指数分布的概率密度函数 \( f(x) = \theta e^{-\theta x} \)，计算 \( P(X > 1) = 1 - P(X \leq 1) = 1 - \int_0^1 \theta e^{-\theta x} dx = 1 - (1 - e^{-\theta}) = e^{-\theta} \)。
【真题三】（高等数学）计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)。
【详解三】利用洛必达法则或泰勒展开，得到 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 \)。
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