张宇考研数学不定积分题目解析如下：
题目：求不定积分 $\int \frac{x^3}{(x^2+1)^2}dx$。
解题思路：
1. 观察被积函数，发现分子为$x^3$，分母为$(x^2+1)^2$，可以考虑使用换元法。
2. 设$t = x^2 + 1$，则$dt = 2xdx$，即$dx = \frac{dt}{2x}$。
3. 将$x^3$和$dx$用$t$表示，得到$\int \frac{x^3}{(x^2+1)^2}dx = \int \frac{(t-1)^{\frac{3}{2}}}{t^2} \cdot \frac{dt}{2(t-1)}$。
4. 简化积分式，得到$\int \frac{(t-1)^{\frac{3}{2}}}{2t^2(t-1)}dt = \int \frac{(t-1)^{\frac{1}{2}}}{2t^2}dt$。
5. 使用分部积分法，令$u = (t-1)^{\frac{1}{2}}$，$dv = \frac{1}{2t^2}dt$，则$du = \frac{1}{2\sqrt{t-1}}dt$，$v = -\frac{1}{2t}$。
6. 根据分部积分公式，得到$\int \frac{(t-1)^{\frac{1}{2}}}{2t^2}dt = -\frac{(t-1)^{\frac{1}{2}}}{2t} + \int \frac{1}{2\sqrt{t-1}} \cdot \frac{1}{t}dt$。
7. 将积分式简化，得到$\int \frac{(t-1)^{\frac{1}{2}}}{2t^2}dt = -\frac{(t-1)^{\frac{1}{2}}}{2t} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t-1}}dt$。
8. 继续使用换元法，令$s = \sqrt{t-1}$，则$s^2 = t-1$，$dt = 2sds$。
9. 将积分式用$s$表示，得到$\int \frac{1}{2\sqrt{t-1}}dt = \int \frac{1}{2s} \cdot 2sds = \int 1ds = s + C$。
10. 将$s$用$t$表示，得到$\int \frac{1}{2\sqrt{t-1}}dt = \sqrt{t-1} + C$。
11. 将所有结果合并，得到$\int \frac{x^3}{(x^2+1)^2}dx = -\frac{(x^2+1)^{\frac{1}{2}}}{2x} + \frac{1}{2}\sqrt{x^2+1} + C$。
微信小程序：【考研刷题通】，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目刷题，助你高效备考，轻松上岸！快来体验吧！