在备战考研数学的过程中，三大计算能力是关键。以下是一道针对线性代数的原创计算训练题：
训练题：
设矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解题思路：
1. 计算矩阵 \( A \) 的特征多项式。
2. 求解特征多项式的根，即特征值。
3. 对每个特征值，求解相应的特征向量。
解答步骤：
1. 计算特征多项式：\( \det(\lambda I - A) \)。
2. 解方程 \( \det(\lambda I - A) = 0 \) 得到特征值。
3. 对每个特征值，代入 \( (\lambda I - A)x = 0 \) 解得特征向量。
答案解析：
通过计算，我们得到矩阵 \( A \) 的特征值为 \( \lambda_1 = 2 \)，\( \lambda_2 = 1 \)，\( \lambda_3 = 0 \)。
对于 \( \lambda_1 = 2 \)，特征向量 \( x_1 \) 的求解过程略。
对于 \( \lambda_2 = 1 \)，特征向量 \( x_2 \) 的求解过程略。
对于 \( \lambda_3 = 0 \)，特征向量 \( x_3 \) 的求解过程略。
提升技巧：
在备考过程中，加强对线性代数中矩阵运算、行列式、特征值等基础知识的掌握，有助于解决此类计算题。
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