在2019年数学二考研真题中，第18题是一道经典的线性代数题目。假设题目如下：
题目： 设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：
首先，我们需要求解特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。
计算特征多项式：
\[ \det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 \]
解这个二次方程，得到特征值：
\[ \lambda_1 = -1, \quad \lambda_2 = 2 \]
接下来，分别求对应的特征向量。
对于 \( \lambda_1 = -1 \)：
\[ (A + I)v = 0 \]
\[ \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
解得特征向量 \( v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。
对于 \( \lambda_2 = 2 \)：
\[ (A - 2I)v = 0 \]
\[ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
解得特征向量 \( v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
综上，矩阵 \( A \) 的特征值为 \( -1 \) 和 \( 2 \)，对应的特征向量分别为 \( \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \) 和 \( \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
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