2019年考研数学三真题解析如下：
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$，则$f'(x)$的零点为：
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$的值为：
A. 0 B. 1 C. -1 D. $\frac{1}{2}$
3. 设$A$，$B$为$3 \times 3$矩阵，且$A^2 = 0$，$B^2 = B$，则$AB$的秩为：
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
4. 已知线性方程组$\begin{cases}x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 2z = 2\end{cases}$的通解为：
A. $x = 1, y = 0, z = 0$ B. $x = 0, y = 1, z = 0$ C. $x = 1, y = 1, z = 0$ D. $x = 0, y = 0, z = 1$
5. 设$y = \ln(\sin x)$，则$y'$的值为：
A. $\frac{\cos x}{\sin x}$ B. $-\frac{\cos x}{\sin x}$ C. $\frac{\sin x}{\cos x}$ D. $-\frac{\sin x}{\cos x}$
6. 若$y = \frac{1}{x}$，则$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$的值为：
A. $\frac{1}{x^2}$ B. $\frac{1}{x^3}$ C. $\frac{1}{x^4}$ D. $\frac{1}{x^5}$
7. 设$z = e^{x^2}$，则$\frac{\partial z}{\partial x}$的值为：
A. $2xe^{x^2}$ B. $2e^{x^2}$ C. $e^{x^2}$ D. $x^2e^{x^2}$
8. 若$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$，则$f''(x)$在$x = 1$处的值为：
A. 2 B. -2 C. 0 D. 1
9. 设$A$为$3 \times 3$矩阵，且$A^2 - 2A + I = 0$，则$A^{-1}$的值为：
A. $A - I$ B. $A + I$ C. $A^2 - 2A$ D. $A^2 + 2A$
10. 设$f(x) = x^2 + 2x + 1$，则$f(x)$的极值点为：
A. $x = -1$ B. $x = 0$ C. $x = 1$ D. $x = -2$
二、填空题（共10小题，每小题5分，共50分）
1. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$的值为______。
2. 设$f(x) = x^2 + 2x + 1$，则$f'(x)$的值为______。
3. 线性方程组$\begin{cases}x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 2z = 2\end{cases}$的系数矩阵的秩为______。
4. 设$y = \ln(\sin x)$，则$y'$的表达式为______。
5. 若$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$，则$f''(x)$的表达式为______。
6. 设$z = e^{x^2}$，则$\frac{\partial z}{\partial x}$的表达式为______。
7. 设$A$为$3 \times 3$矩阵，且$A^2 - 2A + I = 0$，则$A^{-1}$的表达式为______。
8. 若$f(x) = x^2 + 2x + 1$，则$f(x)$的极值点为______。
9. 设$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$，则$f(x)$的拐点为______。
10. 设$f(x) = x^2 + 2x + 1$，则$f(x)$的导数为______。
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