考研数学二2005年真题详解如下：
一、选择题
1. 设函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)，则 \( f'(1) \) 等于多少？
- 解答：首先，对函数进行简化，得到 \( f(x) = x + 1 \)。然后，求导数 \( f'(x) = 1 \)。代入 \( x = 1 \)，得到 \( f'(1) = 1 \)。
2. 下列命题中，正确的是：
- A. 函数 \( y = x^3 \) 在 \( x = 0 \) 处的切线斜率为 0。
- B. 函数 \( y = e^x \) 在任意点处的切线斜率都大于 1。
- C. 函数 \( y = \ln x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数存在。
- D. 函数 \( y = \sin x \) 在 \( x = \frac{\pi}{2} \) 处的导数不存在。
- 解答：选项 A 正确，因为 \( y = x^3 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数 \( y' = 3x^2 \) 在 \( x = 0 \) 时为 0。
二、填空题
1. 若 \( \int_0^1 (x^2 + 1) \, dx = \frac{2}{3} \)，则 \( \int_0^1 (x^3 + 1) \, dx \) 等于多少？
- 解答：直接计算积分，得到 \( \int_0^1 (x^3 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_0^1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} \)。
三、解答题
1. 解微分方程 \( y'' - 4y' + 4y = e^{2x} \)。
- 解答：这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程。先求齐次方程 \( y'' - 4y' + 4y = 0 \) 的通解，特征方程为 \( r^2 - 4r + 4 = 0 \)，解得 \( r = 2 \)（重根）。因此，齐次解为 \( y_h = (C_1 + C_2x)e^{2x} \)。
对于非齐次方程，设特解为 \( y_p = Ax^2e^{2x} \)，代入原方程求解，得到 \( A = \frac{1}{4} \)。因此，特解为 \( y_p = \frac{1}{4}x^2e^{2x} \)。
综合得到通解为 \( y = (C_1 + C_2x)e^{2x} + \frac{1}{4}x^2e^{2x} \)。
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