2021年考研数学一试题真题解析如下：
一、选择题
1. 函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=1$处的导数为______。
答案：$f'(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 = 2$
2. 下列函数中，连续且可导的是______。
A. $f(x) = |x|$
B. $f(x) = \frac{1}{x}$
C. $f(x) = x^2$
D. $f(x) = \sqrt{x}$
答案：C
3. 设$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}$的值为______。
答案：2
二、填空题
1. 若$\int_0^1 (x^2-3x+2)dx$的值为$2$，则$\int_0^1 (x^2+3x+2)dx$的值为______。
答案：$2$
2. 矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的行列式为______。
答案：$-2$
三、解答题
1. 求函数$f(x) = e^{2x} - x^2$的极值点。
解答：$f'(x) = 2e^{2x} - 2x$，令$f'(x) = 0$，得$x = 0$。检查二阶导数$f''(x) = 4e^{2x} - 2$，代入$x = 0$得$f''(0) = 2 > 0$，故$x = 0$是极小值点。
2. 设$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
解答：$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)}\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$。
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