2024年数学一考研真题及解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(1) = ?$
解析：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，代入$x=1$得$f'(1) = 1$。
2. 下列四个选项中，不是实数域上的连续函数的是？
解析：选项D中的函数在$x=0$处有间断点，因此选D。
3. 若$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{x} = ?$
解析：根据极限的运算法则，$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 2$。
二、填空题
4. 设$a > 0$，则$\int_0^1 x^a \, dx = ?$
解析：$\int_0^1 x^a \, dx = \frac{1}{a+1} \left[ x^{a+1} \right]_0^1 = \frac{1}{a+1}$。
5. 若矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的特征值为$\lambda_1$和$\lambda_2$，则$\lambda_1 + \lambda_2 = ?$
解析：$\lambda_1 + \lambda_2 = \text{迹}(A) = 1 + 4 = 5$。
三、解答题
6. 解微分方程$\frac{dy}{dx} = 2xy$。
解析：分离变量得$\frac{1}{y} dy = 2x dx$，积分后得$\ln |y| = x^2 + C$，即$y = Ce^{x^2}$。
7. 设$A$为三阶实对称矩阵，若$A$的特征值为$-1, 2, 3$，求$A^3$的特征值。
解析：$A^3$的特征值为$(-1)^3, 2^3, 3^3$，即$-1, 8, 27$。
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