2019年数学一真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，连续且可导的是（ ）
A. \(f(x) = x^2\sin(1/x)\) （x≠0）
B. \(f(x) = |x|\)
C. \(f(x) = \sqrt{x}\)
D. \(f(x) = \frac{1}{x}\)
答案：C
解析：A选项在x=0处不可导；B选项在x=0处不可导；C选项在x=0处连续且可导；D选项在x=0处不可导。
2. 设函数 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 的一个原函数为 \(F(x)\)，则 \(F'(x)\) 等于（ ）
A. \(\frac{1}{x^2}\)
B. \(-\frac{1}{x^2}\)
C. \(\frac{1}{x}\)
D. \(-\frac{1}{x}\)
答案：A
解析：\(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数，所以 \(F'(x) = f(x) = \frac{1}{x^2}\)。
3. 设 \(f(x) = \sin x\)，则 \(f''(x)\) 等于（ ）
A. \(\cos x\)
B. \(-\sin x\)
C. \(\sin x\)
D. \(-\cos x\)
答案：B
解析：\(f'(x) = \cos x\)，\(f''(x) = -\sin x\)。
4. 设 \(f(x) = e^x\)，则 \(f(x)\) 的一个反函数为（ ）
A. \(y = e^x\)
B. \(y = \ln x\)
C. \(y = \frac{1}{e^x}\)
D. \(y = \frac{1}{x}\)
答案：B
解析：\(f(x)\) 的反函数为 \(y = \ln x\)。
5. 设 \(f(x) = x^2\)，则 \(f'(2)\) 等于（ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
答案：B
解析：\(f'(x) = 2x\)，\(f'(2) = 2 \times 2 = 4\)。
二、填空题
1. 设 \(f(x) = x^3\)，则 \(f'(x)\) 等于（ ）
答案：\(3x^2\)
解析：\(f'(x) = 3x^2\)。
2. 设 \(f(x) = \ln x\)，则 \(f''(x)\) 等于（ ）
答案：\(\frac{1}{x^2}\)
解析：\(f'(x) = \frac{1}{x}\)，\(f''(x) = -\frac{1}{x^2}\)。
3. 设 \(f(x) = e^x\)，则 \(f(x)\) 的一个反函数为（ ）
答案：\(y = e^x\)
解析：\(f(x)\) 的反函数为 \(y = e^x\)。
三、解答题
1. 求函数 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 在区间 [1, 2] 上的最大值和最小值。
答案：最大值为1，最小值为\(\frac{1}{2}\)。
解析：\(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\)，\(f''(x) = \frac{2}{x^3}\)。当 \(x = 1\) 时，\(f'(x) = -1\)，\(f''(x) = 2\)，\(f(x)\) 在 [1, 2] 上单调递减；当 \(x = 2\) 时，\(f'(x) = -\frac{1}{4}\)，\(f''(x) = \frac{1}{8}\)，\(f(x)\) 在 [1, 2] 上单调递增。所以最大值为 \(f(1) = 1\)，最小值为 \(f(2) = \frac{1}{2}\)。
2. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：1
解析：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\cos x}{\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)。
3. 求函数 \(f(x) = x^3 - 3x\) 的拐点。
答案：拐点为 \((0, 0)\)。
解析：\(f'(x) = 3x^2 - 3\)，\(f''(x) = 6x\)。令 \(f''(x) = 0\)，得 \(x = 0\)。当 \(x < 0\) 时，\(f''(x) < 0\)，\(f(x)\) 在 \((-\infty, 0)\) 上凸；当 \(x > 0\) 时，\(f''(x) > 0\)，\(f(x)\) 在 \((0, +\infty)\) 上凹。所以拐点为 \((0, 0)\)。
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