2021年考研数学三真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x)=\frac{1}{x}\sin x$，则$f'(0)$的值是（ ）
A. 0
B. 1
C. -1
D. 不存在
答案：C
解析：由于$f(x)=\frac{1}{x}\sin x$，所以$f'(x)=\frac{1}{x}\cos x-\frac{\sin x}{x^2}$。当$x=0$时，由于$\sin x$和$\cos x$在$x=0$处均连续，所以$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\cos x-\frac{\sin x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-\sin x}{x^2}=-1$。
2. 设$A$，$B$，$C$是三个事件，且$P(A)=\frac{1}{3}$，$P(B)=\frac{1}{2}$，$P(C)=\frac{1}{4}$，$P(A\cap B)=\frac{1}{6}$，$P(A\cap C)=\frac{1}{12}$，$P(B\cap C)=\frac{1}{12}$，则$P(A\cup B\cup C)$的值是（ ）
A. $\frac{5}{6}$
B. $\frac{11}{12}$
C. $\frac{13}{12}$
D. $\frac{15}{12}$
答案：C
解析：由公式$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$，代入已知条件，得$P(A\cup B\cup C)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}-\frac{1}{12}-\frac{1}{12}+P(A\cap B\cap C)=\frac{13}{12}$。
3. 设$D=\{x|2x-3<0\}$，$E=\{x|x^2-2x+1\leq 0\}$，则$D\cap E$的值是（ ）
A. $\{x|x<1\}$
B. $\{x|1\leq x<2\}$
C. $\{x|2\leq x<3\}$
D. $\{x|x>3\}$
答案：B
解析：$D=\{x|2x-3<0\}=\{x|x<\frac{3}{2}\}$，$E=\{x|x^2-2x+1\leq 0\}=\{x|1\leq x\leq 2\}$，所以$D\cap E=\{x|1\leq x<\frac{3}{2}\}$。
二、填空题
1. 设函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，则$f'(1)$的值是______。
答案：2
解析：$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$，所以$f'(x)=1$，$f'(1)=1$。
2. 设$A$，$B$，$C$是三个事件，且$P(A)=\frac{1}{3}$，$P(B)=\frac{1}{2}$，$P(C)=\frac{1}{4}$，$P(A\cap B)=\frac{1}{6}$，$P(A\cap C)=\frac{1}{12}$，$P(B\cap C)=\frac{1}{12}$，则$P(A\cup B\cup C)$的值是______。
答案：$\frac{13}{12}$
解析：由公式$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$，代入已知条件，得$P(A\cup B\cup C)=\frac{13}{12}$。
3. 设$D=\{x|2x-3<0\}$，$E=\{x|x^2-2x+1\leq 0\}$，则$D\cap E$的值是______。
答案：$\{x|1\leq x<2\}$
解析：$D=\{x|2x-3<0\}=\{x|x<\frac{3}{2}\}$，$E=\{x|x^2-2x+1\leq 0\}=\{x|1\leq x\leq 2\}$，所以$D\cap E=\{x|1\leq x<\frac{3}{2}\}$。
【考研刷题通】小程序，帮你轻松备考，政治、英语、数学等全部考研科目刷题，助你一臂之力！立即关注，开启你的考研之路！