2019年数二考研真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，y = x^3 在 x = 0 处不可导的是（ ）
A. y = x^3 + 2x^2 + 3x + 4
B. y = x^3 - 2x^2 + 3x - 4
C. y = x^3 + 3x^2 + 2x + 1
D. y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1
【答案】D
解析：根据可导的充分必要条件，当导数不存在时，函数不可导。对于选项D，求导后得到 y' = 3x^2 - 6x + 2，当 x = 0 时，y' = 2，所以函数在 x = 0 处可导。
2. 设 f(x) = x^2 + 3x + 2，则 f'(1) = （ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】A
解析：根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。将 x = 1 代入，得到 f'(1) = lim(h→0) [(1+h)^2 + 3(1+h) + 2 - (1^2 + 3*1 + 2)] / h = 2。
3. 设 f(x) = e^x，则 f'(x) = （ ）
A. e^x
B. e^x + 1
C. e^x - 1
D. e^x * x
【答案】A
解析：根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。将 f(x) = e^x 代入，得到 f'(x) = lim(h→0) [e^(x+h) - e^x] / h = e^x。
二、填空题
1. 设 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，则 f'(0) = （ ）
【答案】1
解析：根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。将 x = 0 代入，得到 f'(0) = lim(h→0) [2(0+h)^3 - 3(0+h)^2 + 4(0+h) - 1 - (2*0^3 - 3*0^2 + 4*0 - 1)] / h = 1。
2. 设 f(x) = ln(x^2 + 1)，则 f'(x) = （ ）
【答案】2x / (x^2 + 1)
解析：根据链式法则，f'(x) = (1 / (x^2 + 1)) * (2x) = 2x / (x^2 + 1)。
三、解答题
1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x 在 x = 1 处的切线方程。
【答案】y = -2x + 5
解析：首先求出 f(x) 在 x = 1 处的导数，f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，将 x = 1 代入得到 f'(1) = -2。所以切线斜率为 -2。又因为切点为 (1, f(1))，所以切线方程为 y - f(1) = f'(1)(x - 1)，代入 f(1) = 1^3 - 3*1^2 + 2*1 = 0，得到切线方程为 y = -2x + 5。
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