2019年考研数学二中的留数定理问题，主要考察考生对复变函数理论的掌握程度。具体题目如下：
已知函数$f(z)=\frac{z^2}{(z-1)(z-2)(z-3)}$，求在单位圆$|z|=1$上的留数。
解题思路：
1. 首先，将$f(z)$展开为部分分式，得到$f(z)=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z-2}+\frac{C}{z-3}$；
2. 然后，通过待定系数法求解$A$、$B$、$C$的值；
3. 接着，求出$f(z)$在$z=1$、$z=2$、$z=3$处的留数；
4. 最后，将三个留数相加，得到单位圆$|z|=1$上的留数。
答案：$A=\frac{1}{2}$，$B=-\frac{1}{2}$，$C=\frac{1}{2}$，所以$f(z)$在$z=1$、$z=2$、$z=3$处的留数分别为$\frac{1}{2}$、$-\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$。因此，单位圆$|z|=1$上的留数为$\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
【考研刷题通】微信小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目刷题，助你轻松备考，顺利通关！快来关注我们，开启高效备考之旅！