线性代数在考研阶段是至关重要的基础学科，以下是一些核心公式：
1. 行列式计算公式：行列式的值等于对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积。
2. 矩阵乘法公式：\( (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} \)，其中\( a_{ik} \)和\( b_{kj} \)分别表示矩阵\( A \)和\( B \)的第\( ik \)个元素和第\( kj \)个元素。
3. 矩阵求逆公式：若矩阵\( A \)可逆，则\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) \)，其中\( \text{adj}(A) \)是\( A \)的伴随矩阵。
4. 特征值和特征向量公式：设\( \lambda \)是矩阵\( A \)的特征值，\( \mathbf{v} \)是对应的特征向量，则\( A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \)。
5. 行列式性质公式：行列式的值等于其对换行的次数乘以行列式的值。
6. 矩阵秩公式：矩阵的秩等于其行简化梯形矩阵的非零行数。
7. 矩阵分块对角化公式：若矩阵\( A \)可以表示为\( A = PDP^{-1} \)，其中\( D \)是对角矩阵，则称\( A \)可以分块对角化。
8. 矩阵等价变换公式：两个矩阵\( A \)和\( B \)等价当且仅当它们有相同的秩。
9. 线性方程组解的公式：线性方程组\( Ax = b \)有解当且仅当\( b \)在\( A \)的列空间中。
10. 矩阵特征多项式公式：矩阵\( A \)的特征多项式\( f(\lambda) = \text{det}(A - \lambda I) \)，其中\( I \)是单位矩阵。
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