【数一考研例题讲解】
在数一考研中，线性代数部分往往是考生们关注的焦点。以下是一例典型的线性代数题目，让我们一起来解析：
例题：设矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：
首先，我们需要求出矩阵 \( A \) 的特征多项式，即解方程 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。
计算 \( A - \lambda I \)：
\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{pmatrix} \]
接着，计算行列式：
\[ \det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0 \]
求解上述二次方程，得到特征值：
\[ \lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 3 \]
然后，分别求对应的特征向量。对于 \( \lambda_1 = 2 \)：
\[ (A - 2I) \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \vec{x} = \vec{0} \]
解得特征向量 \( \vec{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \)。
对于 \( \lambda_2 = 3 \)：
\[ (A - 3I) \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \vec{x} = \vec{0} \]
解得特征向量 \( \vec{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)。
通过以上步骤，我们成功求出了矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
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