2022年考研数学真题二试卷解析如下：
一、选择题
1. 题目：已知函数$f(x) = e^x + \sin x$，求$f'(0)$。
解析：根据导数的定义，$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin x - 1}{x} = 1$。
2. 题目：已知直线$y = 2x + 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，求切点坐标。
解析：将直线方程代入圆的方程，得到$5x^2 + 4x + 1 = 0$，解得$x = -\frac{2}{5}$，代入直线方程得$y = \frac{3}{5}$，所以切点坐标为$(-\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$。
3. 题目：已知函数$f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$，求$f''(1)$。
解析：先求$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$，再求$f''(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{1}{4x^{3/2}}$，代入$x = 1$得$f''(1) = \frac{1}{2}$。
二、填空题
1. 题目：若$a > 0$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = \frac{a}{2}$。
解析：根据洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{a\cos ax}{1} = a$。
2. 题目：已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n}$，则$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \frac{1}{2}$。
解析：由题意得$a_n = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n-1}$，所以$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n-1}}{n} = \frac{1}{2}$。
三、解答题
1. 题目：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，求$f'(x)$和$f''(x)$，并判断函数的单调性和极值。
解析：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，$f''(x) = 6x - 6$。令$f'(x) = 0$，得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。当$x < \frac{2}{3}$时，$f''(x) < 0$，$f(x)$单调递减；当$x > \frac{2}{3}$时，$f''(x) > 0$，$f(x)$单调递增。所以$f(x)$在$x = \frac{2}{3}$处取得极小值$f(\frac{2}{3}) = -\frac{1}{27}$，在$x = 1$处取得极大值$f(1) = 1$。
2. 题目：已知函数$f(x) = e^x \sin x$，求$f'(x)$和$f''(x)$，并求$f''(x)$的零点。
解析：$f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$，$f''(x) = 2e^x\cos x$。令$f''(x) = 0$，得$x = k\pi + \frac{\pi}{4}$，其中$k$为整数。
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