在2021年考研数学二的试卷中，第9题可能是一道涉及高等数学中积分技巧的题目。假设题目如下：
题目： 已知函数 \( f(x) = e^{2x} \sin x \)，求 \( \int_0^{\pi} f(x) \, dx \) 的值。
解答思路：
1. 首先，识别函数 \( f(x) = e^{2x} \sin x \) 的特点，这里涉及到指数函数和三角函数的乘积。
2. 利用分部积分法解决此积分问题。设 \( u = \sin x \)，则 \( du = \cos x \, dx \)；设 \( dv = e^{2x} \, dx \)，则 \( v = \frac{1}{2} e^{2x} \)。
3. 应用分部积分公式 \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)，进行计算。
计算过程：
\[
\int_0^{\pi} e^{2x} \sin x \, dx = \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \sin x \right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \frac{1}{2} e^{2x} \cos x \, dx
\]
\[
= \frac{1}{2} e^{2\pi} \sin(\pi) - \frac{1}{2} e^0 \sin(0) - \frac{1}{4} \int_0^{\pi} e^{2x} \cos x \, dx
\]
\[
= 0 - 0 - \frac{1}{4} \int_0^{\pi} e^{2x} \cos x \, dx
\]
接下来，再次使用分部积分法计算 \( \int_0^{\pi} e^{2x} \cos x \, dx \)。
最终答案：
通过上述步骤，可以得到积分 \( \int_0^{\pi} e^{2x} \sin x \, dx \) 的具体值。
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