在考研数学的复习中，罗尔定理是一个重要的知识点。以下是一道关于罗尔定理的真题解析：
【真题】已知函数$f(x)=x^3-3x+1$在闭区间$[0,2]$上连续，在开区间$(0,2)$内可导，且$f(0)=1$，$f(2)=1$。证明：存在$\xi \in (0,2)$，使得$f'(\xi)=0$。
【解题过程】
1. 首先，我们观察函数$f(x)=x^3-3x+1$在闭区间$[0,2]$上的连续性和在开区间$(0,2)$内的可导性，满足罗尔定理的应用条件。
2. 根据罗尔定理，如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，并且两端点的函数值相等，那么至少存在一点$\xi \in (0,2)$，使得导数$f'(\xi)=0$。
3. 计算函数$f(x)$的导数：$f'(x)=3x^2-3$。
4. 由于$f(0)=1$，$f(2)=1$，两端点函数值相等，因此根据罗尔定理，存在$\xi \in (0,2)$，使得$f'(\xi)=0$。
5. 解方程$3\xi^2-3=0$，得到$\xi^2=1$，即$\xi=1$（由于$\xi \in (0,2)$，我们舍去$\xi=-1$的解）。
因此，存在$\xi=1 \in (0,2)$，使得$f'(\xi)=0$。
【软文广告】
想要在考研数学中轻松应对罗尔定理这类难题？现在就加入【考研刷题通】微信小程序，这里有全面的政治、英语、数学等考研科目刷题资源，让你随时随地巩固知识点，提升解题能力。从基础到进阶，从真题到模拟题，应有尽有。快来体验，让刷题变得更加高效和有趣！【考研刷题通】，你的考研利器！