2024年考研数学二真题解析如下：
一、选择题（每题5分，共10题）
1. 设函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，则$f'(1)$的值为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C
2. 下列级数中，收敛的是：
A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$
D. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 - 1}$
答案：A
二、填空题（每题5分，共5题）
3. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{7} & -\frac{2}{7} \\ -\frac{3}{7} & \frac{1}{7} \end{bmatrix}$。
4. 曲线$y = e^x$在点$(0,1)$处的切线方程为$y = x + 1$。
5. $\int_0^{\pi} \sin^2 x \, dx = \frac{\pi}{2}$。
6. 矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$的行列式值为0。
三、解答题（每题20分，共4题）
7. 计算极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$。
解：利用洛必达法则，得$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{6} = -\frac{1}{6}$。
8. 求函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$的极值。
解：$f'(x) = 3x^2 - 3$，令$f'(x) = 0$，得$x = \pm 1$。当$x = -1$时，$f''(x) = 6 > 0$，故$x = -1$是极小值点；当$x = 1$时，$f''(x) = 6 > 0$，故$x = 1$是极大值点。
9. 解线性方程组$\begin{cases} 2x + 3y - z = 8 \\ x - 2y + 2z = -2 \\ 3x + y - z = 1 \end{cases}$。
解：增广矩阵$\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 8 \\ 1 & -2 & 2 & | & -2 \\ 3 & 1 & -1 & | & 1 \end{bmatrix}$，通过行变换得$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}$，故方程组的解为$x = 3, y = 2, z = 1$。
10. 设$A$为$3 \times 3$矩阵，$A^2 = 0$，证明$A$的迹为0。
证明：$A^2 = 0$，即$\text{Tr}(A^2) = \text{Tr}(A) \cdot \text{Tr}(A) = 0$，故$\text{Tr}(A) = 0$。
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