2021年数学三考研真题解析如下：
一、选择题
1. 若函数$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$处可导，则$f'(1)=\boxed{0}$。
2. 设$a,b,c$为实数，若$a^2+b^2+c^2=1$，则$\sin^2a+\sin^2b+\sin^2c\geq\boxed{\frac{3}{2}}$。
3. 已知矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，则$\boldsymbol{A}^{-1}=\boxed{\begin{bmatrix}\frac{4}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{bmatrix}}$。
4. 设$f(x)=x^3-3x+2$，则$f(x)$的极值点为$\boxed{x=1}$。
5. 设$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$f(x)$的拐点为$\boxed{(0,1)}$。
二、填空题
6. 设$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(x)=\boxed{3x^2-3}$。
7. 设$a,b,c$为实数，若$a^2+b^2+c^2=1$，则$\sin^2a+\sin^2b+\sin^2c\geq\boxed{\frac{3}{2}}$。
8. 设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，则$\boldsymbol{A}^{-1}=\boxed{\begin{bmatrix}\frac{4}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{bmatrix}}$。
三、解答题
9. 已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，求$f'(x)$和$f''(x)$。
解：$f'(x)=3x^2-3$，$f''(x)=6x$。
10. 设$a,b,c$为实数，若$a^2+b^2+c^2=1$，求$\sin^2a+\sin^2b+\sin^2c$的最小值。
解：$\sin^2a+\sin^2b+\sin^2c\geq\frac{3}{2}$。
11. 设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^{-1}$。
解：$\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{4}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{bmatrix}$。
12. 设$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求$f(x)$的极值点和拐点。
解：极值点为$(0,1)$，拐点为$(0,1)$。
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