2024年数二考研真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，连续且可导的是（ ）
A. \( f(x) = |x| \)
B. \( f(x) = x^2 \)
C. \( f(x) = \frac{1}{x} \)
D. \( f(x) = \sqrt{x} \)
答案：D
解析：选项A在x=0处不可导；选项B在所有实数上连续可导；选项C在x=0处不可导；选项D在所有实数上连续可导。
2. 设 \( f(x) = e^x \)，则 \( f'(0) \) 等于（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：A
解析：根据导数的定义，\( f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \)。
3. 设 \( f(x) = x^3 - 3x \)，则 \( f'(x) \) 等于（ ）
A. \( 3x^2 - 3 \)
B. \( 3x^2 + 3 \)
C. \( 3x^2 - 6 \)
D. \( 3x^2 + 6 \)
答案：A
解析：根据导数的运算法则，\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。
二、填空题
1. 设 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \)，则 \( f'(1) \) 等于（ ）
答案：0
解析：\( f'(x) = 2x - 2 \)，代入x=1得 \( f'(1) = 0 \)。
2. 设 \( f(x) = e^x \)，则 \( f''(x) \) 等于（ ）
答案：\( e^x \)
解析：\( f'(x) = e^x \)，\( f''(x) = e^x \)。
三、解答题
1. 设 \( f(x) = x^3 - 3x \)，求 \( f'(x) \) 和 \( f''(x) \)。
答案：\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，\( f''(x) = 6x \)。
解析：根据导数的运算法则，\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，\( f''(x) = 6x \)。
2. 设 \( f(x) = e^x \)，求 \( f'(x) \) 和 \( f''(x) \)。
答案：\( f'(x) = e^x \)，\( f''(x) = e^x \)。
解析：根据导数的运算法则，\( f'(x) = e^x \)，\( f''(x) = e^x \)。
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