在2022年考研数二中，第三题是一道典型的综合题，涉及了多元函数的极值问题。以下是解题思路：
题目：已知函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy + 3x - 6y + 9 \)，求函数在点 \( (1, 2) \) 处的极值。
解题步骤：
1. 计算函数的一阶偏导数：\( f_x = 2x - 2y + 3 \)，\( f_y = 2y - 2x - 6 \)。
2. 求解偏导数等于零的点，即 \( f_x(1, 2) = 0 \) 和 \( f_y(1, 2) = 0 \)。
3. 解得 \( (1, 2) \) 是驻点。
4. 计算二阶偏导数：\( f_{xx} = 2 \)，\( f_{yy} = 2 \)，\( f_{xy} = -2 \)。
5. 使用二阶导数判别法：\( AC - B^2 = 2 \times 2 - (-2)^2 = 0 \)。
6. 由于 \( AC - B^2 = 0 \)，点 \( (1, 2) \) 可能是鞍点或极值点。
7. 通过分析函数的几何形状或进一步计算，确定 \( (1, 2) \) 为极小值点。
8. 计算极小值：\( f(1, 2) = 1^2 + 2^2 - 2 \times 1 \times 2 + 3 \times 1 - 6 \times 2 + 9 = 1 \)。
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