21年考研数学二大题第一题考查了高等数学中的极限问题，具体内容如下：
题目：已知函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x - 1} \)，求 \( \lim_{x \to 1} f(x) \)。
解答过程如下：
首先，我们观察到当 \( x \to 1 \) 时，直接代入函数 \( f(x) \) 会得到 \( \frac{0}{0} \) 的不定式形式。因此，我们可以采用洛必达法则来求解。
根据洛必达法则，我们需要对分子和分母同时求导：
\[ \frac{d}{dx}(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3 \]
\[ \frac{d}{dx}(x - 1) = 1 \]
接着，我们对 \( f(x) \) 进行求导：
\[ f'(x) = \frac{3x^2 - 3}{1} = 3x^2 - 3 \]
然后，我们计算 \( x \to 1 \) 时的导数值：
\[ \lim_{x \to 1} f'(x) = \lim_{x \to 1} (3x^2 - 3) = 3 \cdot 1^2 - 3 = 0 \]
由于 \( f'(x) \) 在 \( x = 1 \) 处也趋近于 0，我们需要再次应用洛必达法则：
\[ \frac{d}{dx}(3x^2 - 3) = 6x \]
\[ \frac{d}{dx}(1) = 0 \]
再次计算 \( x \to 1 \) 时的导数值：
\[ \lim_{x \to 1} \frac{6x}{0} = \infty \]
由于第二次应用洛必达法则后，导数仍然为 0，这意味着我们需要继续求导。第三次求导：
\[ \frac{d}{dx}(6x) = 6 \]
最终，我们计算 \( x \to 1 \) 时的导数值：
\[ \lim_{x \to 1} \frac{6}{0} = \infty \]
因此，\( \lim_{x \to 1} f(x) \) 的值不存在，因为函数在 \( x = 1 \) 处没有极限。
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