2013年考研数学真题填空题解析如下：
1. 【解析】此题考查极限的计算。首先，由题意知当x趋近于0时，分母趋近于0，故需利用洛必达法则。求导后，分子分母同时除以x，得到：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{6} = -\frac{1}{6}
$$
答案为：$$-\frac{1}{6}$$
2. 【解析】此题考查函数的连续性。由于题目给出的函数在x=0处未定义，故需判断x=0处的连续性。首先，计算函数在x=0处的左极限和右极限：
$$
\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = 0
$$
$$
\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = 0
$$
由于左极限和右极限相等，故x=0处连续。又因为f(0)=0，故f(x)在x=0处连续。
答案为：连续
3. 【解析】此题考查级数的收敛性。首先，判断级数的一般项是否趋于0：
$$
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} = 0
$$
故级数的一般项趋于0。接下来，利用比值审敛法判断级数的收敛性：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{(n+1)^2+1}} = 1
$$
由于极限存在且不为0，故级数收敛。
答案为：收敛
4. 【解析】此题考查一元二次方程的根。首先，根据韦达定理，得到：
$$
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2
$$
$$
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = 1
$$
接下来，利用求根公式计算两个根：
$$
x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = -1
$$
$$
x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = -1
$$
由于两个根相等，故方程有两个相等的实根。
答案为：有两个相等的实根
5. 【解析】此题考查空间几何问题。首先，由题意知三角形ABC是等边三角形，故边长为a。接下来，计算三角形ABC的面积：
$$
S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2
$$
再计算三角形ABC外接圆的半径R：
$$
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
$$
最后，计算扇形的面积：
$$
S_{\text{扇形}} = \frac{1}{2}R^2\theta = \frac{1}{2} \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 \times 120^\circ = \frac{a^2}{3\sqrt{3}}
$$
答案为：$$\frac{a^2}{3\sqrt{3}}$$
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