2021年考研数学三解答题第一题，考生需解决的是一个涉及多元函数微积分的问题。题目给出了一个多元函数$f(x, y, z)$，要求在点$(x_0, y_0, z_0)$处求该函数的全微分$\mathrm{d}f$。具体过程如下：
1. 求偏导数：首先，我们需要求出函数$f(x, y, z)$关于$x$，$y$，$z$的偏导数。假设题目中给出的函数是$f(x, y, z) = x^2y + yz^2 + xz^3$，则：
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + z^3, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 2yz, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = yz^2 + 3xz^2
\]
2. 代入点$(x_0, y_0, z_0)$：将$x_0$，$y_0$，$z_0$代入上述偏导数中，得到：
\[
\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0, y_0, z_0)} = 2x_0y_0 + z_0^3, \quad \frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(x_0, y_0, z_0)} = x_0^2 + 2y_0z_0, \quad \frac{\partial f}{\partial z}\bigg|_{(x_0, y_0, z_0)} = y_0z_0^2 + 3x_0z_0^2
\]
3. 计算全微分：将上述偏导数代入全微分公式$\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y + \frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z$，得到：
\[
\mathrm{d}f = (2x_0y_0 + z_0^3)\mathrm{d}x + (x_0^2 + 2y_0z_0)\mathrm{d}y + (y_0z_0^2 + 3x_0z_0^2)\mathrm{d}z
\]
这就是2021年考研数学三解答题第一题的完整解答过程。
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