2025年考研数学一真题及解析如下：
一、选择题
1. 设函数 \( f(x) = \ln(1+x) \)，则 \( f'(0) \) 的值为（ ）
A. 1
B. 0
C. -1
D. 不存在
解析：\( f'(x) = \frac{1}{1+x} \)，所以 \( f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1 \)。答案：A
2. 下列极限存在的是（ ）
A. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)
B. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2}\)
C. \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x}\)
D. \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}\)
解析：A选项为洛必达法则的典型应用，极限值为1；B、D选项为无穷小除以无穷小，极限不存在；C选项为无穷小乘以有界函数，极限为0。答案：A
3. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶方阵，且 \( \det(A) = 0 \)，则 \( A \) 的秩为（ ）
A. 0
B. 1
C. \( n-1 \)
D. \( n \)
解析：由于 \( \det(A) = 0 \)，根据行列式的性质，\( A \) 的秩小于 \( n \)，且 \( A \) 为非满秩矩阵，所以秩为 \( n-1 \)。答案：C
二、填空题
4. 设 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则 \( f'(x) \) 的值为 _______。
解析：\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。答案：\( 3x^2 - 3 \)
5. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值为 _______。
解析：根据极限的性质，\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)。答案：1
三、解答题
6. 求解微分方程 \( y'' - 2y' + 2y = e^x \)。
解析：特征方程为 \( r^2 - 2r + 2 = 0 \)，解得 \( r = 1 \pm i \)。通解为 \( y = e^x(C_1\cos x + C_2\sin x) \)。特解为 \( y_p = \frac{1}{2}e^x \)。所以通解为 \( y = e^x(C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{1}{2}) \)。
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