2018年数学一考研真题详解如下：
一、选择题
1. 若函数$f(x)=x^3-3x+1$在$x=1$处的导数为0，则$f(x)$在$x=1$处的二阶导数为多少？
答案：2
2. 下列函数中，可导的函数是：
A. $f(x)=|x|$，$x=0$处不可导
B. $f(x)=\sqrt{x}$，$x=0$处可导
C. $f(x)=\frac{1}{x}$，$x=0$处不可导
D. $f(x)=e^x$，$x$处可导
答案：D
3. 下列极限中，存在且等于1的是：
A. $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}$
B. $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x}$
C. $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{1-\cos x}$
D. $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x^2}$
答案：A
二、填空题
1. 若$f(x)=\ln x$，则$f'(x)=\frac{1}{x}$。
2. 若$f(x)=x^3-3x+1$，则$f'(x)=3x^2-3$。
3. 若$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{2x}=1$。
三、解答题
1. 求函数$f(x)=x^3-3x+1$在$x=1$处的切线方程。
解：$f'(x)=3x^2-3$，$f'(1)=0$，$f(1)=1$，所以切线方程为$y=1$。
2. 求函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的导数。
解：$f'(x)=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$。
3. 求极限$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}$。
解：利用洛必达法则，$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$。
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