1. 在极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) - 3x}{x^2}$ 中，利用洛必达法则求解。
2. 设函数 $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$，求 $f'(x)$。
3. 若 $\int_0^1 f(x) \, dx = 2$，且 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上连续，求 $\int_0^2 f(x - 1) \, dx$。
4. 设 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{x} = A$，求 $A$ 的值。
5. 求级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 的和。
6. 若 $A$ 为 $3 \times 3$ 的矩阵，且 $\det(A) = 5$，求 $\det(3A)$。
7. 解微分方程 $y'' - 4y' + 4y = 0$。
8. 设 $f(x) = e^{2x} \sin x$，求 $f''(x)$。
9. 求函数 $g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ 的单调区间。
10. 若 $x_1, x_2$ 是方程 $x^2 - 2ax + b = 0$ 的两个实根，且 $x_1 + x_2 = 4$，求 $a$ 和 $b$ 的值。
11. 求曲线 $y = e^x$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程。
12. 若 $f(x) = \sqrt{4x - 3}$ 在 $x = 2$ 处可导，求 $f'(2)$。
13. 设 $P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$，求 $P'(x)$。
14. 求解不等式 $x^2 - 5x + 6 < 0$。
15. 求函数 $h(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的定义域。
16. 若 $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x + 1)}{x - 1} = L$，求 $L$ 的值。
17. 设 $v(t) = t^2 - 4t + 3$，求 $v'(t)$。
18. 解方程 $\frac{dy}{dx} = 2xy$。
19. 求函数 $k(x) = x^2 \ln x$ 的导数。
20. 若 $\int_0^2 f(x) \, dx = 6$，求 $\int_1^3 f(2x) \, dx$。
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