多元函数是考研数学二中的一个重要考点，以下是对多元函数真题的详细解析：
1. 偏导数求解：此类题目通常要求考生计算多元函数在某一点处的偏导数。解题时，需注意对各个变量求偏导的顺序，并应用链式法则。
例题：设函数 \( f(x,y) = e^{x^2 + y^2} \)，求 \( f_x(1,0) \) 和 \( f_y(1,0) \)。
解析：\( f_x(1,0) = \frac{\partial}{\partial x}(e^{x^2 + y^2})\bigg|_{x=1, y=0} = 2xe^{x^2 + y^2}\bigg|_{x=1, y=0} = 2 \)。同理，\( f_y(1,0) = 2y \)。
2. 二元函数极值问题：这类题目要求考生判断函数在某点是否取得极值，并求出极值。
例题：设函数 \( f(x,y) = x^2 - 4xy + 2y^2 \)，求 \( f(x,y) \) 在 \( x = 2, y = 1 \) 处的极值。
解析：计算 \( f_x \) 和 \( f_y \) 并令其等于零，得到 \( f_x = 2x - 4y = 0 \) 和 \( f_y = -4x + 4y = 0 \)。解得 \( x = 2, y = 1 \)。此时 \( f''_{xx} = 2, f''_{yy} = 4, f''_{xy} = -4 \)。根据二阶导数判定法，因为 \( f''_{xx}f''_{yy} - (f''_{xy})^2 = 8 > 0 \) 且 \( f''_{xx} = 2 > 0 \)，所以 \( f(x,y) \) 在 \( x = 2, y = 1 \) 处取得极小值。
3. 多元函数积分：此类题目要求考生计算多元函数的二重积分或三重积分。
例题：设函数 \( f(x,y) = e^{x^2 + y^2} \)，计算 \( \iint_D f(x,y) \, dx \, dy \)，其中 \( D \) 是单位圆盘 \( x^2 + y^2 \leq 1 \)。
解析：使用极坐标变换，令 \( x = r\cos\theta, y = r\sin\theta \)，则 \( dx \, dy = r \, dr \, d\theta \)。积分区域 \( D \) 对应的极坐标范围为 \( 0 \leq r \leq 1, 0 \leq \theta \leq 2\pi \)。因此，积分可转化为 \( \int_0^{2\pi} \int_0^1 e^{r^2} r \, dr \, d\theta \)。通过计算，得到积分值为 \( \frac{\pi}{2}(e - 1) \)。
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