关键词：2019，考研数学1，答案
在2019年的考研数学1中，考生们经历了充满挑战的数学难题。经过不懈的努力和精心的准备，以下是一些典型的题目及其答案解析，供大家参考：
1. 题目：计算定积分 $\int_0^1 (x^2+2x)\mathrm{d}x$ 的值。
答案：首先计算不定积分 $\int (x^2+2x)\mathrm{d}x=\frac{1}{3}x^3+x^2+C$，然后代入上下限得到 $\int_0^1 (x^2+2x)\mathrm{d}x=\frac{1}{3}+1= \frac{4}{3}$。
2. 题目：求解微分方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=3xy^2$ 的通解。
答案：这是一个伯努利方程，令 $u=y^{-2}$，则 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-2y^{-3}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。代入原方程得到 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-6xu$，解得 $u=\frac{C}{x^6}$，即 $y^{-2}=\frac{C}{x^6}$，进而得到 $y=\frac{1}{\sqrt[3]{Cx^6}}$。
3. 题目：设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，证明存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f'(\xi)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}$。
答案：构造辅助函数 $F(x)=f(x)-\frac{f(1)-f(0)}{1}x$，显然 $F(0)=f(0)$，$F(1)=f(1)-f(0)$。根据罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $F'(\xi)=0$，即 $f'(\xi)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}$。
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