今日考研竞赛数学挑战题：设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \)，求证：对于任意实数 \( x \)，都有 \( f(x) \geq 0 \)。
证明过程如下：
首先，考虑函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)。令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。
接下来，分析 \( f'(x) \) 的符号变化：
- 当 \( x < 1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 在 \( (-\infty, 1) \) 上单调递增；
- 当 \( 1 < x < 3 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，函数 \( f(x) \) 在 \( (1, 3) \) 上单调递减；
- 当 \( x > 3 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 在 \( (3, +\infty) \) 上单调递增。
因此，\( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 是 \( f(x) \) 的极值点。计算 \( f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 1 = 5 \) 和 \( f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 1 = 1 \)。
由于 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 处取得局部极小值，且 \( f(1) = 5 > 0 \)，\( f(3) = 1 > 0 \)，所以对于任意实数 \( x \)，\( f(x) \geq 0 \)。
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