在数学考研的征途上，基础题如同基石，稳固你的数学大厦。以下是一道经典的考研数学基础题：
题目：已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)，求证：对于任意 \( x \in \mathbb{R} \)，都有 \( f(x) \geq -2 \)。
解答：首先对函数 \( f(x) \) 求导，得 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = \pm 1 \)。再对 \( f'(x) \) 求导，得 \( f''(x) = 6x \)。在 \( x = -1 \) 时，\( f''(-1) < 0 \)，说明 \( x = -1 \) 是 \( f(x) \) 的极大值点；在 \( x = 1 \) 时，\( f''(1) > 0 \)，说明 \( x = 1 \) 是 \( f(x) \) 的极小值点。
计算得 \( f(-1) = -3 + 3 + 1 = 1 \)，\( f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 \)。因此，\( f(x) \) 在 \( x = -1 \) 处取得极大值 1，在 \( x = 1 \) 处取得极小值 -1。由于 \( f(x) \) 是三次函数，且开口向上，故对于任意 \( x \in \mathbb{R} \)，都有 \( f(x) \geq -1 \)。
所以，对于任意 \( x \in \mathbb{R} \)，都有 \( f(x) \geq -2 \)。
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