在备战考研数学的过程中，大题是检验考生综合能力的关键。以下是一道原创的考研数学大题试题：
题目：
设函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，求：
1. 求函数 \( f(x) \) 的极值点及其对应的极值。
2. 求函数 \( f(x) \) 在区间 \([-1, 2]\) 上的最大值和最小值。
3. 设 \( g(x) = \frac{f(x)}{x^2 + 1} \)，求 \( g(x) \) 的导数 \( g'(x) \) 并分析 \( g(x) \) 的单调性。
解答：
1. 首先求 \( f(x) \) 的一阶导数 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = \pm 1 \)。再求二阶导数 \( f''(x) = 6x \)，代入 \( x = 1 \) 和 \( x = -1 \) 得 \( f''(1) = 6 > 0 \)，\( f''(-1) = -6 < 0 \)。因此，\( x = 1 \) 是极小值点，\( x = -1 \) 是极大值点。计算得 \( f(1) = -1 \)，\( f(-1) = 4 \)。
2. 在区间 \([-1, 2]\) 上，由于 \( f(x) \) 在端点处取得值，分别为 \( f(-1) = 4 \) 和 \( f(2) = 2 \)。结合极值点 \( f(1) = -1 \)，可知最大值为 4，最小值为 -1。
3. 对 \( g(x) \) 求导，使用商的导数法则，得 \( g'(x) = \frac{(3x^2 - 3)(x^2 + 1) - 2x(x^3 - 3x + 2)}{(x^2 + 1)^2} \)。化简后，分析 \( g'(x) \) 的符号，确定 \( g(x) \) 的单调性。
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