在2015年的考研数学二中，考生们面临了多场充满挑战的考试。以下是部分真题及答案的概述：
1. 选择题：
- 题目：计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$。
- 答案：$\frac{1}{6}$。
2. 填空题：
- 题目：设函数 $f(x) = x^3 - 3x$，求 $f'(x)$。
- 答案：$3x^2 - 3$。
3. 解答题：
- 题目：证明等式 $\int_0^{\pi} \sin^2 x \, dx = \frac{\pi}{2}$。
- 答案：利用三角函数的周期性和对称性，将积分区间分为两部分，然后利用三角恒等变换和积分技巧求解。
4. 线性代数：
- 题目：求矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 的特征值和特征向量。
- 答案：求出特征多项式 $|A - \lambda I| = 0$，解得特征值 $\lambda_1 = 5, \lambda_2 = -1$。对应的特征向量分别为 $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ 和 $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$。
5. 概率论与数理统计：
- 题目：设随机变量 $X$ 服从标准正态分布，求 $P(X > 1)$。
- 答案：利用标准正态分布表，查得 $P(X > 1) = 0.1587$。
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