关键词：线性代数，矩阵，特征值，特征向量，二次型。
【原创最佳答案】
在考研数学线性代数部分，关于矩阵的特征值与特征向量的题目，以下是一个典型的真题示例：
真题题目： 设矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的所有特征值和对应的特征向量。
解题思路：
1. 计算特征多项式 \( \det(A - \lambda I) \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。
2. 解特征方程 \( \det(A - \lambda I) = 0 \) 得到特征值 \( \lambda \)。
3. 对每个特征值 \( \lambda \)，解线性方程组 \( (A - \lambda I)X = 0 \) 来找到对应的特征向量 \( X \)。
答案：
特征值 \( \lambda_1 = 3 \)，\( \lambda_2 = 1 \)，\( \lambda_3 = 1 \)。
对应特征向量分别为：
- \( \lambda_1 = 3 \) 时，特征向量为 \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)；
- \( \lambda_2 = 1 \) 和 \( \lambda_3 = 1 \) 时，特征向量分别为 \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \) 和 \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \)。
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