在2016年考研数二的试卷中，第20题是一道关于线性代数的题目。假设题目如下：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：
首先，我们需要求解特征值。特征值满足方程 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。
计算 \( A - \lambda I \)：
\[ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 4 & 5-\lambda & 6 \\ 7 & 8 & 9-\lambda \end{bmatrix} \]
接下来，求解行列式 \( \det(A - \lambda I) \)：
\[ \det(A - \lambda I) = (1-\lambda) \left[ (5-\lambda)(9-\lambda) - 48 \right] - 2 \left[ 4(9-\lambda) - 7 \cdot 6 \right] + 3 \left[ 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5 \right] \]
化简得：
\[ \det(A - \lambda I) = (1-\lambda) \left[ \lambda^2 - 14\lambda + 7 \right] - 2 \left[ 36 - 4\lambda \right] + 3 \left[ 32 - 35 \right] \]
\[ = \lambda^3 - 15\lambda^2 + 56\lambda - 7 \]
令 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，解得特征值 \( \lambda_1 = 1 \)，\( \lambda_2 = 7 \)，\( \lambda_3 = 8 \)。
接下来，求对应的特征向量。对于每个特征值，解线性方程组 \( (A - \lambda I)x = 0 \)。
对于 \( \lambda_1 = 1 \)：
\[ (A - I)x = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 6 \\ 7 & 8 & 8 \end{bmatrix}x = 0 \]
通过行简化，得到基础解系 \( x_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \)。
对于 \( \lambda_2 = 7 \)：
\[ (A - 7I)x = \begin{bmatrix} -6 & 2 & 3 \\ 4 & -2 & 6 \\ 7 & 8 & 2 \end{bmatrix}x = 0 \]
通过行简化，得到基础解系 \( x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)，\( x_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
对于 \( \lambda_3 = 8 \)：
\[ (A - 8I)x = \begin{bmatrix} -7 & 2 & 3 \\ 4 & -3 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \end{bmatrix}x = 0 \]
通过行简化，得到基础解系 \( x_4 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
综上，矩阵 \( A \) 的特征值分别为 \( 1, 7, 8 \)，对应的特征向量分别为 \( \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
【考研刷题通】——你的考研刷题小助手，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助力你高效备战，轻松应对考研挑战！立即体验，开启你的考研刷题之旅！