2019年考研数学二真题解析如下：
一、选择题
1. 题目：若函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$在$x=1$处取得极值，则该极值点为( )。
解析：对$f(x)$求导得$f'(x) = 3x^2 - 3$，令$f'(x) = 0$解得$x = \pm 1$。由于$f''(1) = 6 > 0$，故$x = 1$是极小值点。
2. 题目：设矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$，则$A$的伴随矩阵$A^*$为( )。
解析：$A^* = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$。
二、填空题
1. 题目：若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$的值为( )。
解析：由极限的性质，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 3 \times 2 = 6$。
2. 题目：设$A$为$3 \times 3$矩阵，且$A^2 = 0$，则$A$的秩为( )。
解析：$A^2 = 0$意味着$A$的零空间非平凡，故$A$的秩为$0$。
三、解答题
1. 题目：求函数$f(x) = e^x \sin x$的导数。
解析：利用乘积法则，$f'(x) = e^x \cos x + e^x \sin x = e^x (\sin x + \cos x)$。
2. 题目：设$A$为$3 \times 3$矩阵，$A^2 = 0$，求矩阵$A$的特征值和特征向量。
解析：特征值为$0$，因为$A^2 = 0$。特征向量可以通过解方程组$Av = \lambda v$得到。
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