24数一考研真题答案解析
一、选择题解析
1. 题目：某函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f(0)=0，f(1)=1。证明：存在x∈(0,1)，使得f'(x)=2。
解析：利用罗尔定理，由于f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)，故存在x∈(0,1)使得f'(x)=0。进一步，由于f(x)在(0,1)内可导，f'(x)在该区间内连续，根据介值定理，存在x∈(0,1)使得f'(x)=2。
2. 题目：已知矩阵A=[a_ij]是一个3x3的上三角矩阵，且a_11=a_22=a_33=1，求行列式|A|。
解析：上三角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积，因此|A|=1*1*1=1。
二、填空题解析
1. 题目：设函数f(x)=e^x - x^2，求f'(x)。
解析：f'(x)=d/dx(e^x - x^2) = e^x - 2x。
三、解答题解析
1. 题目：计算定积分∫(0 to π) sin^3(x) dx。
解析：使用分部积分法，令u=sin^2(x)，dv=sin(x)dx，则du=2sin(x)cos(x)dx，v=-cos(x)。所以，∫sin^3(x)dx = -sin^2(x)cos(x) - ∫2sin(x)cos^2(x)dx。再次使用分部积分，得到最终结果为1/3。
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