2016年考研数学真题及解析如下：
一、选择题
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(1) = \quad$（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
解析：$f'(x) = 3x^2 - 3$，代入$x=1$得$f'(1) = 0$，故选A。
2. 若$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \quad$（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 无穷大
解析：$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{-\sin x}{2x} = -\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = -\frac{1}{2}$，故选C。
3. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1} = \quad$（ ）
A. $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ B. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ C. $\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ D. $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$
解析：$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$，故选A。
二、填空题
1. 设$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，则$f'(1) = \quad$（ ）
解析：$f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 - 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 1}{(x - 1)^2}$，代入$x=1$得$f'(1) = 1$。
2. 设$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \quad$（ ）
解析：$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{-\sin x}{2x} = -\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = -\frac{1}{2}$。
3. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1} = \quad$（ ）
解析：$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$。
三、解答题
1. 求函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$的极值。
解析：$f'(x) = 3x^2 - 3$，令$f'(x) = 0$得$x = \pm 1$。当$x < -1$时，$f'(x) > 0$，$f(x)$单调递增；当$-1 < x < 1$时，$f'(x) < 0$，$f(x)$单调递减；当$x > 1$时，$f'(x) > 0$，$f(x)$单调递增。故$f(x)$在$x = -1$处取得极大值$f(-1) = 4$，在$x = 1$处取得极小值$f(1) = 0$。
2. 求极限$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$。
解析：$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x - 0}{x - 0} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
3. 求矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的逆矩阵。
解析：$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$。
【考研刷题通】——考研刷题小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效备考，轻松上岸！微信小程序搜索“考研刷题通”，开启你的考研之旅！