在解决数学1考研题目时，以下是一个原创的解题思路示例：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{1}{x} + e^x \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([1, +\infty)\) 上的最大值。
解题步骤：
1. 求导数：首先对 \( f(x) \) 求导，得到 \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} + e^x \)。
2. 找临界点：令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( e^x = \frac{1}{x^2} \)。由于 \( x > 0 \)，可以进一步分析或数值求解得到临界点 \( x_0 \)。
3. 分析单调性：考察 \( f'(x) \) 在 \( x_0 \) 左右两侧的符号。通过测试点或直接观察，发现当 \( x < x_0 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，函数单调递减；当 \( x > x_0 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增。
4. 确定最大值：由于 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 处由递减转为递增，故 \( x_0 \) 为局部最小点，而 \( f(x) \) 在区间 \([1, +\infty)\) 上的最大值发生在端点 \( x = 1 \)。
5. 计算最大值：代入 \( x = 1 \) 到 \( f(x) \) 中，得到 \( f(1) = 1 + e \)。
结论：函数 \( f(x) \) 在区间 \([1, +\infty)\) 上的最大值为 \( 1 + e \)。
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