2020年考研数学真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x)=x^3-3x+1$，则$f'(0)=\quad$（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
答案：C
解析：$f'(x)=3x^2-3$，代入$x=0$得$f'(0)=0$。
2. 设$a>0$，则$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^a}=\quad$（ ）
A. 0 B. 1 C. $a$ D. 无穷大
答案：A
解析：$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^a}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{ax^{a-1}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{ax^a}=0$。
3. 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，则$A^{-1}=\quad$（ ）
A.$\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}$ B.$\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}$ C.$\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}$ D.$\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}$
答案：A
解析：$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}$。
二、填空题
1. 设$f(x)=e^x\sin x$，则$f'(x)=\quad$
答案：$e^x\sin x+e^x\cos x$
解析：$f'(x)=e^x\sin x+e^x\cos x$。
2. 设$a>0$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^a)}{x}=\quad$
答案：$a$
解析：$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^a)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{1+x^a}\cdot ax^{a-1}}{1}=a$。
三、解答题
1. 求函数$f(x)=x^3-3x+1$的极值。
答案：$f(x)$在$x=1$处取得极大值$f(1)=1$，在$x=-1$处取得极小值$f(-1)=-3$。
解析：$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=-1$。当$x<1$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；当$x>1$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增。因此，$f(x)$在$x=1$处取得极大值$f(1)=1$，在$x=-1$处取得极小值$f(-1)=-3$。
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