2019年考研数学三真题解析如下：
一、选择题
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6$在$x=1$处取得极值，则该极值为（ ）
A. 0 B. -2 C. 2 D. 4
【答案】B
2. 设矩阵$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$\boldsymbol{A}^2 - 5\boldsymbol{A} + 6\boldsymbol{E}$的秩为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
3. 设$f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$，则$f(x)$的导数为（ ）
A. $\frac{1}{x^2}$ B. $\frac{1}{(x+1)^2}$ C. $-\frac{1}{x^2}$ D. $-\frac{1}{(x+1)^2}$
【答案】C
二、填空题
4. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - x}{x^3} = \frac{1}{3}$，则常数$a$的值为（ ）
【答案】$\frac{1}{3}$
5. 设$f(x) = e^x \sin x$，则$f'(0)$的值为（ ）
【答案】1
三、解答题
6. 求函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$的导数$f'(x)$，并求$f'(x)$的零点。
【解答】$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$，令$f'(x) = 0$，得$x = 1$或$x = 3$。
7. 设矩阵$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^3$。
【解答】$\boldsymbol{A}^3 = \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 & 30 \\ 75 & 90 \end{bmatrix}$。
8. 设$f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的积分$\int f(x) \, dx$。
【解答】$\int f(x) \, dx = \int \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) \, dx = \ln|x| - \ln|x+1| + C$。
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