在深入解析考研数学一真题时，首先要关注的是试卷的结构和题型分布。以下是对各部分的详细解析：
1. 选择题：这部分主要考察基础知识和解题技巧。考生需熟练掌握公式、定理，并能够灵活运用。在解答选择题时，要注重审题，避免粗心大意导致的失分。
2. 填空题：填空题主要考察基础知识和计算能力。解答时，考生要准确把握公式、定理，同时注重计算过程中的细节。
3. 解答题：解答题是试卷中的重头戏，主要考察考生的综合运用能力和分析问题、解决问题的能力。解答时，考生要按照题目要求，step-by-step地进行分析和计算。
以下是部分真题答案解析：
选择题：
1. 若函数$f(x) = \ln(x^2 + 1)$，则$f'(0) = \frac{d}{dx} \ln(x^2 + 1) \bigg|_{x=0} = \frac{2x}{x^2 + 1} \bigg|_{x=0} = 0$。
填空题：
1. 设$a > 0$，$b > 0$，则$(a + b)^{\frac{1}{2}} \geq a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$，等号成立当且仅当$a = b$。
解答题：
1. 证明：设函数$f(x) = \ln(x^2 + 1)$，则$f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$。令$f'(x) = 0$，解得$x = 0$。当$x > 0$时，$f'(x) > 0$，$f(x)$单调递增；当$x < 0$时，$f'(x) < 0$，$f(x)$单调递减。因此，$f(x)$在$x = 0$处取得极小值。又因为$f(0) = 0$，所以$f(x)$的最小值为$0$。
2. 计算：设$a = 2$，$b = 3$，则$(a + b)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$，$a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$。由柯西不等式可得：$(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 \leq (1^2 + 1^2)(a + b) = 5$，即$a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} \leq \sqrt{5}$。等号成立当且仅当$a = b$。
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