第十题：设函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 6x^2 + 9x}{x^2 - 1} \)，求 \( f(x) \) 在 \( x = 2 \) 处的导数值。
解答过程：
首先，对函数 \( f(x) \) 进行简化，注意到分子可以分解为 \( (x-1)^3 \)，于是有：
\[ f(x) = \frac{(x-1)^3}{x^2 - 1} \]
由于 \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \)，我们可以进一步简化 \( f(x) \)：
\[ f(x) = \frac{(x-1)^3}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-1}{x+1} \]
现在，对 \( f(x) \) 进行求导。使用商的导数法则：
\[ f'(x) = \frac{(x+1) \cdot 1 - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2} \]
将 \( x = 2 \) 代入 \( f'(x) \) 中，得到：
\[ f'(2) = \frac{2}{(2+1)^2} = \frac{2}{9} \]
因此，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 2 \) 处的导数值为 \( \frac{2}{9} \)。
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